螺旋錐齒輪齒面加工偏差的敏感性分析
螺旋錐齒輪具有重合度高、承載能力強(qiáng)、傳動(dòng)比高和傳動(dòng)效率高等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于汽車(chē)、航空和礦山機(jī)械等領(lǐng)域。螺旋錐齒輪的制造精度與數(shù)控機(jī)床的誤差直接相關(guān)。數(shù)控機(jī)床誤差包括幾何誤差、熱誤差和伺服控制誤差等。其中，機(jī)床幾何誤差具有重復(fù)、穩(wěn)定的特點(diǎn)，可以通過(guò)數(shù)控系統(tǒng)進(jìn)行精確補(bǔ)償。因此研究機(jī)床幾何誤差的特點(diǎn)、確定關(guān)鍵幾何誤差項(xiàng)對(duì)于齒面偏差補(bǔ)償和機(jī)床運(yùn)動(dòng)精度的分配、維護(hù)有著重要的作用。
敏感性分析是一種研究系統(tǒng)中輸入因素變化對(duì)輸出結(jié)果影響程度的分析方法。分析結(jié)果通過(guò)敏感性系數(shù)來(lái)表示，敏感度系數(shù)大的，表明該項(xiàng)輸入因素和輸出結(jié)果的相關(guān)度較高。敏感性分析是研究機(jī)床幾何誤差與加工精度之間關(guān)系的重要方法。在機(jī)床幾何誤差的敏感性分析方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了深入研究。ＣＨＥＮ 等通過(guò)矩陣微分法計(jì)算出機(jī)床的 ３７ 個(gè)幾何誤差項(xiàng)的敏感性系數(shù)；ＣＨＥＮＧ 等通過(guò) Ｓｏｂｏｌ 法，對(duì)立式加工中心的 １８ 項(xiàng)幾何誤差進(jìn)行了敏感性分析；夏長(zhǎng)久等采用 Ｍｏｒｒｉｓ 法分析出影響五軸數(shù)控磨齒機(jī)精度的關(guān)鍵幾何誤差項(xiàng)；余文利等采用拓展傅里葉幅度檢驗(yàn)法識(shí)別出強(qiáng)耦合幾何誤差項(xiàng)和關(guān)鍵幾何誤差項(xiàng)。目前，雖然敏感性分析方法很多，但因?yàn)槁菪F齒輪的齒面復(fù)雜，影響齒面加工精度的因素眾多，所以合理選取敏感性分析方法對(duì)于齒面偏差敏感性分析至關(guān)重要。
本文作者首先對(duì)比局部敏感性和全局敏感性方法的計(jì)算原理和特點(diǎn)；然后，結(jié)合螺旋錐齒輪數(shù)控加工原理和敏感性分析方法，研究機(jī)床幾何誤差對(duì)螺旋錐齒輪齒面偏差的敏感性關(guān)系；最后，通過(guò)實(shí)例分析兩種敏感性分析方法的特點(diǎn)，為螺旋錐齒輪齒面偏差的敏感性分析方法的選取提供理論指導(dǎo)。
01 敏感性分析
敏感性分析方法主要有兩類(lèi)：以微分法、差分法和攝動(dòng)法為代表的局部敏感性分析方法和以回歸分析法、方差法和篩選法為代表的全局敏感性分析方法。通過(guò)敏感性分析，可以確定出關(guān)鍵輸入因素和非關(guān)鍵輸入因素。在實(shí)際的分析與計(jì)算中，可以先不考慮非關(guān)鍵輸入因素，從而可以顯著降低系統(tǒng)的復(fù)雜程度和分析難度，同時(shí)大幅度降低相關(guān)數(shù)據(jù)的計(jì)算量和處理難度。
局部敏感性分析方法
局部敏感性分析是單因素分析方法的一種，通過(guò)每次對(duì)單個(gè)輸入因素進(jìn)行微小改變，同時(shí)保持其他所有因素不變，以輸出結(jié)果對(duì)輸入?yún)?shù)的微分或者單個(gè)輸入因素改變對(duì)輸出結(jié)果的變化情況來(lái)確定敏感性系數(shù)。局部敏感性概念明確，計(jì)算簡(jiǎn)單，主要適用于線(xiàn)性模型和非線(xiàn)性不強(qiáng)的模型，其分析流程如圖 １ 所示。
圖 １ 局部敏感性分析流程
Ｓｏｂｏｌ 全局敏感性分析
全局敏感性分析方法不但考慮各參數(shù)的范圍和分布規(guī)律，而且在分析計(jì)算的過(guò)程中將所有參數(shù)代入進(jìn)行分析，考慮了各輸入?yún)?shù)之間相互耦合對(duì)于結(jié)果的影響。但是，全局敏感性分析方法一般需要進(jìn)行一定規(guī)模的采樣得到模型的輸入?yún)?shù)，然后進(jìn)行敏感性分析，特別是對(duì)于參數(shù)較多情況，計(jì)算量會(huì)比較大。
以 Ｓｏｂｏｌ 法為例，該方法是一種基于方差的全局敏感性方法，該方法主要通過(guò)對(duì)模型進(jìn)行子項(xiàng)方差分解來(lái)計(jì)算輸入?yún)?shù)的敏感度系數(shù)。
以 ｎ 表示模型的輸入?yún)?shù)個(gè)數(shù)，以 ｘｉ表示第 ｉ 個(gè)輸入?yún)?shù)，其中 ｉ＝（１，２，…，ｎ）。
用 Ｋ＝ｆ（Ｘ）來(lái)表示模型對(duì)應(yīng)的多變量函數(shù)，其中 Ｘ＝（ｘ１，ｘ２ ，…，ｘｎ）。ｆ（Ｘ）分解如下：
式中：ｆ０是由輸入?yún)?shù)計(jì)算得到的輸出結(jié)果ｆ（Ｘ） 的期望值，是一個(gè)常數(shù)；ｆｉ（ｘｉ）表示在輸入?yún)?shù) ｘｉ單獨(dú)作用下的輸出結(jié)果；ｆｉ，ｊ（ｘｉ，ｘｊ）表示在輸入?yún)?shù) ｘｉ和 ｘｊ共同作用下的輸出結(jié)果；ｆ１，…，ｎ（ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘｎ）表示在全部輸入?yún)?shù)共同作用下的輸出結(jié)果；其余各階同理可得。
總方差 Ｄ 可以用以下形式表示：
可以求得方差分量如下：
式中：１≤ｓ≤ｎ。
由 Ｓｏｂｏｌ 法，將式（１）左右兩邊先平方后積分可得：
可通過(guò)如下公式求得敏感性系數(shù)：
因?yàn)榉讲顬榉秦?fù)數(shù)，所以可知 Ｓｉ１，…，ｉｓ 為非負(fù)數(shù)，根據(jù)式（４）和式（５）可以得到：
式中：Ｓｉ是變量 ｘｉ 對(duì)應(yīng)的一階敏感性系數(shù)；Ｓｉ，ｊ（ｉ＜ｊ）是變量 ｘｉ和 ｘｊ的相互耦合作用所對(duì)應(yīng)的二階敏感性系數(shù)。同理，可以得到每一階的敏感性系數(shù)。
變量 ｘｉ對(duì)應(yīng)的全局敏感性系數(shù) Ｓｔｏｔ ｉ 可以由與變量 ｘｉ相關(guān)的各項(xiàng)敏感性系數(shù)求和得到。計(jì)算方法如下：
式中：正整數(shù) ｋ 的取值范圍為：１≤ｋ≤ｎ，且 ｋ≠ｉ。
蒙特卡羅估算
采用 Ｓｏｂｏｌ 法在求解敏感性系數(shù)的過(guò)程中，涉及多重積分求解，而對(duì)于復(fù)雜模型的多重積分求解通常十分困難，所以常通過(guò)蒙特卡羅法來(lái)近似模擬多重積分求解。一般的計(jì)算方法如下：對(duì)輸入?yún)?shù)進(jìn)行兩次獨(dú)立采樣，得到 Ｅ 和 Ｆ 兩個(gè)獨(dú)立的采樣矩陣，結(jié)果如下：
式中：ｋ 為每次采樣的樣本個(gè)數(shù)。
為了求解一階敏感性系數(shù)和全局敏感性系數(shù)，以 Ｅ 和 Ｆ 兩個(gè)矩陣為基礎(chǔ)，構(gòu)造矩陣 ＥｉＦ ，其中 ｉ＝１，２， …，ｎ。矩陣 ＥｉＦ 是在矩陣 Ｅ 的基礎(chǔ)上，第 ｉ 列用矩陣 Ｆ 的第 ｉ 列替換得到，其余部分和矩陣 Ｅ 完全相同， 矩陣 ＥｉＦ 可以表示為如下形式：
樣本矩陣的一行代表一個(gè)完整的輸入?yún)?shù)樣本集。因此，每一行的輸入?yún)?shù)可以單獨(dú)求解出一個(gè)模型輸出結(jié)果。一階敏感性系數(shù) Sｉ 和全局敏感性系數(shù) Ｓ toti 可以通過(guò)以下式子進(jìn)行近似計(jì)算：
式中：ｆ（Ｅ）ｈ 是將矩陣 Ｅ 的第 ｈ 行代入模型求解出的輸出結(jié)果；ｆ（Ｆ）ｈ 是將矩陣 Ｆ 的第 ｈ 行代入模型求解出的輸出結(jié)果；ｆ（ＥｉＦ）ｈ 是將矩陣 ＥｉＦ 的第 ｈ 行代入模型求得的輸出結(jié)果；Ｄ 模為型計(jì)算模型的總方差。
02 螺旋錐齒輪機(jī)床加工模型
機(jī)床幾何誤差分類(lèi)
數(shù)控機(jī)床的結(jié)構(gòu)如圖 ２ 所示：按照設(shè)定的數(shù)控程序，Ａ、Ｂ、Ｘ、Ｙ 和 Ｚ 軸聯(lián)動(dòng)，可以加工出格里森制的螺旋錐齒輪。Ｃ 軸帶動(dòng)刀盤(pán)旋轉(zhuǎn)，不影響齒面展成過(guò)程。機(jī)床的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖 ３ 所示。
圖 ２ 螺旋錐齒輪數(shù)控機(jī)床結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖
圖 ３ 數(shù)控機(jī)床加工坐標(biāo)
對(duì)于與齒面展成相關(guān)的 ５ 個(gè)運(yùn)動(dòng)軸，每個(gè)軸受制造、裝配等因素影響，存在幾何誤差，這些幾何誤差直接導(dǎo)致齒面偏差的產(chǎn)生。每個(gè)軸有 ６ 項(xiàng)幾何誤差，包括 ３ 項(xiàng)線(xiàn)性誤差和 ３ 項(xiàng)角度誤差，對(duì)于整個(gè)機(jī)床來(lái)說(shuō)，需要考慮 ３０ 項(xiàng)幾何誤差 。
為便于分析，將幾何誤差序列進(jìn)行編號(hào)，如表 １ 所示。其中 ε 代表角度誤差，δ 代表線(xiàn)性誤差，誤差變量通過(guò)兩個(gè)下標(biāo)進(jìn)行區(qū)分：第一個(gè)下標(biāo)代表誤差的方向，第二個(gè)下標(biāo)表示誤差所在的軸。例如：εαＹ表示 Ｙ 軸在 α 方向上的角度誤差， εｙＸ表示 Ｘ 軸在 ｙ 方向上的線(xiàn)性誤差。
表 １ 五軸數(shù)控機(jī)床的幾何誤差及對(duì)應(yīng)編號(hào)
齒面加工過(guò)程
工件齒輪的展成運(yùn)動(dòng)由 Ｘ、Ｙ、Ｚ、Ａ 和 Ｂ 五個(gè)軸共同確定。所以 Ａ 軸到 Ｙ 軸的齊次變換矩陣與刀具方程聯(lián)立可以得到理想狀況下的齒面方程 ｒｇ。
式中：Ｍｑ（ｑ ＝ Ｘ，Ｙ，Ｚ，Ａ，Ｂ）為各軸對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)變換矩陣；ｒｔ是由刀具方程得到的表達(dá)式；ｕ 和 θ 為刀盤(pán)參數(shù)。由于篇幅有限，具體過(guò)程可參考文獻(xiàn)。
若考慮機(jī)床幾何誤差，實(shí)際的齒面方程如下：
式中：Ｍｅｑ（ｑ ＝Ｘ，Ｙ，Ｚ，Ａ，Ｂ）為各軸對(duì)應(yīng)的幾何誤差矩陣。
以表 ２ 所示的齒輪為例，根據(jù)式（１３）可以得到螺旋錐齒輪的理論齒面?？紤]實(shí)際加工中受機(jī)床幾何誤差的影響，可以根據(jù)式（１４）計(jì)算得到螺旋錐齒輪的實(shí)際齒面。
表 ２ 齒輪幾何參數(shù)和加工參數(shù)
為了便于分析計(jì)算，用離散的１５×９ 的點(diǎn)陣來(lái)代表齒面。結(jié)合式（１３）和式（１４）可以求得理論齒面點(diǎn)陣和實(shí)際齒面點(diǎn)陣，通過(guò)點(diǎn)陣中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)值，可以求解出對(duì)應(yīng)齒面點(diǎn)的偏差值 Ｋｆ，ｆ表示點(diǎn)陣中點(diǎn)的編號(hào)。Ｋ 表示齒面偏差，為計(jì)算模型的輸出結(jié)果，用來(lái)衡量齒面偏差的大小，可通過(guò)如下式子求得：
給定各線(xiàn)性參數(shù)的變化量為＋０. ０１ ｍｍ，各角度參數(shù)的變化量為＋２７″。以齒面偏差 Ｋ 為模型輸出結(jié)果，局部敏感性分析結(jié)果如圖 ４ 所示。
圖 ４ 局部敏感性分析結(jié)果
參考局部敏感性分析的輸入?yún)?shù)變化量，給定線(xiàn)性誤差范圍為 ０～ １０ μｍ，角度誤差的范圍為 ０″～ ２７″，且?guī)缀握`差參數(shù)符合均勻分布。編寫(xiě)采樣程序，在幾何誤差給定范圍內(nèi)隨機(jī)取樣，生成機(jī)床幾何誤差參數(shù)。結(jié)合式（１３）和式（１４），可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)的理論齒面和實(shí)際齒面，根據(jù)兩種齒面點(diǎn)陣，求解出對(duì)應(yīng)的齒面偏差 Ｋ。
通過(guò) Ｓｏｂｏｌ 全局敏感性分析方法可以求解出 ３０ 項(xiàng)機(jī)床幾何誤差的全局敏感性系數(shù)，按照全局敏感度系數(shù)大小降序排列，如圖 ５ 所示。
圖 ５ 全局敏感性系數(shù)
輸入?yún)?shù)情況討論
采用局部敏感性分析方法進(jìn)行敏感性分析，需要保證同類(lèi)型輸入?yún)?shù)的變化量相同，這樣輸出結(jié)果才具有可比性。其選取的標(biāo)準(zhǔn)與輸入?yún)?shù)的實(shí)際范圍和分布規(guī)律無(wú)關(guān)，所以實(shí)際輸入?yún)?shù)取值范圍發(fā)生變化不會(huì)影響局部敏感性分析結(jié)果。
在前文中，全局敏感性分析方法的輸入?yún)?shù)范圍的選取參考了局部敏感性分析方法的特點(diǎn)，保證了同一類(lèi)型參數(shù)的范圍和分布規(guī)律相同。但是在真實(shí)情況下輸入?yún)?shù)的取值范圍一般不相同，變化規(guī)律也往往不一樣。所以，考慮實(shí)際可能發(fā)生的情況，以序號(hào)為 ４ 的幾何誤差為例，讓該幾何誤差的取值區(qū)間由 ０ ～ １０ μｍ 變化為 ０～ ２０ μｍ，同時(shí)保持其他條件不變?？梢郧蟮妹舾行苑治鼋Y(jié)果如圖 ６ 所示。
圖 ６ 變區(qū)間后的全局敏感性系數(shù)
可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于全局敏感性分析方法，在改變輸入?yún)?shù)的取值范圍后，敏感性分析的結(jié)果發(fā)生明顯變化，其中，序號(hào)為 ４ 的幾何誤差項(xiàng)，即 δｘＹ ，全局敏感性系數(shù)發(fā)生了明顯的變化，由原來(lái)的 ０. ０２３ 增加為 ０. １５４。其他各項(xiàng)的全局敏感度系數(shù)只有微小的變化，且相關(guān)比例無(wú)明顯變化。
結(jié)果分析
對(duì)于取值范圍變化前后兩種敏感性分析方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于螺旋錐齒輪齒面加工偏差計(jì)算模型，兩種敏感性分析方法有如下特點(diǎn)：
（１）在輸入?yún)?shù)取值范圍和分布規(guī)律完全相同的理想情況下，兩種敏感性分析方法求得的線(xiàn)性誤差對(duì)螺旋錐齒輪齒面偏差的敏感性系數(shù)分布規(guī)律相同。５ 個(gè)軸的線(xiàn)性誤差項(xiàng)的敏感性系數(shù)都呈現(xiàn)出 ｙ 方向（序號(hào)為 ２，５，８，１１，１４ 的幾何誤差）＞ｘ 方向（序號(hào)為 １，４，７，１０，１３ 的幾何誤差）＞ｚ 方向（序號(hào)為 ３，６，９，１２，１５ 的幾何誤差）。
（２）在輸入?yún)?shù)取值范圍和分布規(guī)律完全相同的理想情況下，兩種敏感性分析方法求得的各軸角度誤差對(duì)螺旋錐齒輪齒面偏差的敏感性系數(shù)分布規(guī)律，由于采用的概率計(jì)算公式和取樣樣本限制存在較小差異，但整體趨勢(shì)相同。各軸關(guān)鍵角度誤差相同（序號(hào)為 １７，１８，１９，２０，２３，２６，２９ 的幾何誤差）。
（３）當(dāng)輸入?yún)?shù)取值范圍發(fā)生變化時(shí)，通過(guò)全局敏感性分析可以發(fā)現(xiàn)，原本非關(guān)鍵幾何誤差的輸入?yún)?shù)可能變化為關(guān)鍵幾何誤差。但是對(duì)于局部敏感性分析方法來(lái)說(shuō)，其分析結(jié)果與輸入?yún)?shù)的分布范圍無(wú)關(guān)，當(dāng)輸入?yún)?shù)的分布范圍差異較大時(shí)，該方法的分析結(jié)果的準(zhǔn)確性會(huì)顯著下降，甚至不再適用于該模型的敏感性分析。
通過(guò)將兩種敏感性分析方法分別用于螺旋錐齒輪齒面加工偏差模型的敏感性分析，可以發(fā)現(xiàn)：
（１）在輸入?yún)?shù)取值范圍和分布規(guī)律完全相同的理想情況下，局部敏感性分析方法的計(jì)算量較小，可以較快得到初步分析的結(jié)果，同時(shí)該分析結(jié)果與全局敏感性分析結(jié)果的分布規(guī)律相同，具有一定的參考價(jià)值。
（２）Ｓｏｂｏｌ 全局敏感性分析方法考慮了輸入?yún)?shù)取值范圍和分布規(guī)律對(duì)于分析結(jié)果的影響，更加科學(xué)，得到的結(jié)論更可信，適用的范圍更加廣泛。除此之外，大多數(shù)全局敏感性分析可以用來(lái)研究輸入?yún)?shù)與輸出結(jié)果的定量關(guān)系以及參數(shù)之間相互作用對(duì)于輸出結(jié)果的影響。但是相對(duì)于局部敏感性分析方法，計(jì)算量顯著增加，需要花費(fèi)更多的時(shí)間。
（３）對(duì)于輸入?yún)?shù)的分布范圍不明確、可用時(shí)間少以及分布情況相同或相似的線(xiàn)性或非線(xiàn)性不強(qiáng)的模型，可以考慮采用局部敏感性分析；對(duì)于輸入?yún)?shù)的分布范圍復(fù)雜、準(zhǔn)確性要求高的非線(xiàn)性模型，可以考慮采用全局敏感性分析方法。